Fizik Öğretmeni

Piramit deyince genelde aklımıza mısır piramitleri gelir. Mısır Piramitleri, Mısır’da yer alan eski piramit şekilli yapılardır. Mısır’da 100’den fazla piramit olduğu belirtilmektedir. Piramitlerin çoğu Eski Krallık döneminden Orta Krallık Dönemi’ne kadar firavunların mezarı olarak inşa edilmiştir. Mısırdaki bazı piramitlerin ve etrafını çevreleyen bloklar; mimar İmhotep tarafından tasarlanmıştır. Ayrıca bu yapılar dünyanın en eski şekilli taşlardan inşa edilmiş yapısıdır. En çok bilinen piramitler Gize’de bulunmuştur. Birkaç Gize Piramidi şuana kadar inşa edilmiş en büyük yapılardandır. Gize Piramitleri’nin en büyüğü olan Keops Piramidi şu ana kadar zarar görmeden ayakta duran Dünya’nın Yedi Harikası’ndan biri olarak görülmektedir. Günlük hayat ile piramitler arasında ilişki kurduktan sonra sorgusuz sualsiz okulda piramitlerin ve kürelerin hacmini veren ifadeleri kabul edip onlarla ilgili bir sürü uygulama problemini çözümü hakkında fikirlerimizi belirtmek istiyoruz. Öğretmenlerimiz diyor ki bu formüllerin çıkışını ilerde integral gördükten sonra anlayacaksınız, çaresiz kabul ediyoruz. Burada size simetriden faydalanarak herhangi bir piramidin ve kürenin hacmini integrale ihtiyaç duymadan ve iyi bir ortaokul ve orta seviyede bir lise öğrencisinin kolaylıkla anlayabileceği şekilde nasıl gösterebileceğimizi sunmak istiyorum.

Piramidin Hacmi

Kenarları a olan bir küp ele alalım,

Küpün hacmi:

V= a x a x a                                                (1)

olacaktır.

Genel olarak hacim = Taban alanı x yükseklik olarak ifade edildiğinden, TA taban alanı olmak üzere küpün hacmini;

V= TA x a                                                  (2)

olarak  yazalım. Burada TA=a^2 .

Küpün köşelerinden diğer köşelere küpün merkezinden geçen köşegenler çizersek bu şekilden aynı hacimde altı eş piramit elde ederiz. Piramitlerin tabanları küpün altı yüzeyinden biri ve piramidin yüksekliği h’tır ve

2h= a                                                         (3)

Bir eş piramidin hacmi ise,

Piramidin hacmi= Küpün Hacmi / 6             (4)

olarak  yazılabilir.

(2) ve (3),  (4) te yerine yazılırsa

Piramidin hacmi = (TA x 2h)/6

Piramidin hacmi = TA x h/3                     (5)

bulunur.

Elde edilen bu bağıntı kare, dikdörtgen, üçgen  vb. tüm piramitler için geçerli olur. Hatta koniler içinde geçerli olur. Çünkü konilerde dairesel tabanı sonsuzgenin alanı olarak düşünüp koninin hacmini TA x h/3 ten faydalanarak bulabiliriz.

Kürenin Hacmi

Yarıçapı r olan bir kürenin hacmini veren bağıntıyı bulmak için kürenin yüzey alanın veren bağıntıdan ve piramidin hacim bağıntısından faydalanabiliriz.

Kürenin yüzey alanı = 4 π r^2                                (6)

ve

Piramidin hacmi =(TA x h) /3          (5)

idi.

Kürenin n tane küçük piramit eş dilimlerinden meydana geldiğini farz edelim. Yüksekliği kürenin yarıçapı kadar olan piramitlerin her birinin tabanı küre yüzeyi üzerinde olsun.

Piramitlerin taban alanı, TA = 4πr^2 / n    (7)
olacaktır.

Kürenin Hacmi= n x piramit hacmi         (8)

(5) ve  (7), (8) de yerine konursa

Piramidin hacmi = (4πr^2 / n) x r /3

Kürenin Hacmi=    n x (4πr^3 / 3n)

Kürenin hacmi = (4/3) π r^3                      (9)

olarak  bulunur.  Umarım işinize yarar…

Mustafa DEMİR

forphysics@gmail.com